CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

     
Phương trình cất căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình đựng căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán mở ra nhiều trong số kì thi học tập kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa căn thức

Để giải được phương trình, bất phương trình đựng căn, các em học sinh cần nắm rõ kiến thức sau:

1. Cơ chế chung nhằm giải phương trình, bất phương trình cất căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử vết căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Mặc dù nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho họ một phương trình, bất phương trình mới tương tự thì rất cần được có đk cả 2 vế pt, bpt hầu hết không âm.

Do đó, về bạn dạng chất, chúng ta lần lượt khám nghiệm 2 trường thích hợp âm, với không âm của các biểu thức (thường là một trong những vế của phương trình, bất phương trình đã cho).



2. Những dạng phương trình cất căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng tầm 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình đựng căn cơ bản đó là


*

3. Bí quyết giải phương trình cất căn, cách giải bất phương trình đựng căn

Chi máu về cách thức giải các dạng phương trình, bất phương trình cất căn, xin mời thầy cô và những em học sinh theo dõi trong video clip sau đây.


4. Một vài ví dụ về phương trình và bất phương trình đựng căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình


$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$


Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với


<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm tuyệt nhất $x = 3$.


Ví dụ 2. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị $x=4$.


Ví dụ 3. Giải phương trình


Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với


<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.


Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$


Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình đã cho tất cả nghiệm tốt nhất $x = 1$.


Ví dụ 5.

Xem thêm: Điềm Báo Hắt Xì 3 Cái Liên Tục, Theo Giờ Có Điềm Báo Gì ? Hắt Xì Hơi 3 Cái Liên Tục

Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$


Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm độc nhất $x = frac-86$.


Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$


Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. Và left( 2 ight)endarray ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$

Lấy phù hợp tập nghiệm của 2 trường đúng theo trên, được đáp số sau cuối là $S = left< 1;frac145 ight)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$

Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với

$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm độc nhất vô nhị $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$

Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ và 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$

Với điều kiện đó, phương trình vẫn cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Xem thêm: Loạt Stt Tuyển Người Yêu Hay Cực Chất Cực Bựa Cho Dân Fa Không Thể Bỏ Qua

Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign & x-3ge 0 \ và 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$

Với điều kiện trên, bất phương trình sẽ cho tương đương với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>

Kết phù hợp với điều khiếu nại ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.

Xem những ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình đựng căn