Các dạng bài tập và phương pháp giải nguyên hàm

     

Các dạng bài xích tập Nguyên hàm chọn lọc, bao gồm đáp án

Với những dạng bài xích tập Nguyên hàm lựa chọn lọc, bao gồm đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài xích tập, trên 200 bài bác tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết với đầy đủ cách thức giải, ví dụ như minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài bác tập Nguyên hàm từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập và phương pháp giải nguyên hàm

*

Bài tập trắc nghiệm

Cách tìm kiếm nguyên hàm của hàm số

A. Phương thức giải và Ví dụ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: mang lại hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn giỏi nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Định lí:

1) nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) bên trên K.

2) trường hợp F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì đầy đủ nguyên hàm của f(x) trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 trong những hằng số.

Do kia F(x)+C, C ∈ R là họ toàn bộ các nguyên hàm của f(x) bên trên K. Ký kết hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

2. đặc điểm của nguyên hàm

tính chất 1: (∫f(x)dx)" = f(x) với ∫f"(x)dx = f(x) + C

đặc điểm 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số không giống 0.

Xem thêm: Game Đố Vui Có Đáp Án Game Đố Vui Dân Gian Từ Câu 331, Tổng Hợp Các Câu Đố Dân Gian Hay Nhất

tính chất 3:dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự trường tồn của nguyên hàm

Định lí: hồ hết hàm số f(x) liên tục trên K đều sở hữu nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấpNguyên hàm của hàm số đúng theo (u = u(x)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp cần sử dụng định nghĩa vá tính chất

+ chuyển đổi các hàm số dưới vết nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức cất x.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bạn dạng có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh họa

Bài 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số

*

*

Hướng dẫn:

*

*

Bài 2: tìm nguyên hàm của hàm số

*

*

Hướng dẫn:

*

*

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi trở thành số

A. Cách thức giải & Ví dụ

STTDạng tích phânCách đặtĐặc điểm thừa nhận dạng
1
*
t = f(x)Biểu thức bên dưới mẫu
2
*
t = t(x)Biểu thức ở trong phần số mũ
3
*
t = t(x)Biểu thức trong vết ngoặc
4
*
*
Căn thức
5
*
t = lnxdx/x đi kèm biểu thức theo lnx
6
*
t = sinxcosx dx kèm theo biểu thức theo sinx
7
*
t = cosxsinx dx đi kèm theo biểu thức theo cosx
8
*
t = tanx
*
đi kèm theo biểu thức theo tanx
9
*
t = cotx
*
đi kèm theo biểu thức theo cotx
10
*
t = eaxeax dx đi kèm theo biểu thức theo eax
Đôi lúc thay biện pháp đặt t = t(x) do t = m.t(x) + n ta sẽ biến hóa dễ dàng hơn.

Xem thêm: Học Autocad 2007 Bài 24: Lệnh Di Chuyển Đối Tượng Trong Cad, Lệnh Move Trong Autocad Sử Dụng Thế Nào

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*
*
*

Bài 2: Tìm những họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*
*
*

Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*

Cách kiếm tìm nguyên hàm bằng phương thức từng phần

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với câu hỏi tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của nhì hàm số “khác lớp hàm” ta hay sử dụng phương thức nguyên hàm từng phần theo công thức

*

Dưới đó là một số trường hòa hợp thường chạm chán như gắng (với P(x) là một trong đa thức theo ẩn x)

*
*

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm bọn họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫ex sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

*

Theo cách làm tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx

*

F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫ex cosx dx

*

G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C"=ex cosx+F(x)+C" (2)

Từ (1) cùng (2) ta tất cả F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C"

*

Ghi nhớ: gặp mặt ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần gấp đôi liên tiếp.

Bài 2: Tìm chúng ta nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2x dx

*

b)

*

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx

*

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx)