Bài Tập Về Bất Phương Trình Bậc 2

     

Bài viết phía dẫn phương pháp giải một số dạng toán thường gặp gỡ liên quan mang lại bất phương trình bậc nhì trong chương trình Đại số 10 chương 4.

Bạn đang xem: Bài tập về bất phương trình bậc 2

A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG1. Định nghĩa và cách giải bất phương trình bậc hai+ Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$) là bất phương trình bao gồm một trong số dạng $fleft( x ight)>0$, $f(x)+ Để giải bất phương trình bậc hai, ta vận dụng định lí về vệt của tam thức bậc hai.2. Ứng dụng giải toán: Giải bất phương trình tích, yêu thương chứa những tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu.

B. CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAIDạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai.Ví dụ 1. Giải những bất phương trình sau:a) $-3x^2+2x+1b) $x^2+x-12c) $5x^2-6sqrt5x+9>0.$d) $-36x^2+12x-1ge 0.$

a) Tam thức $f(x)=-3x^2+2x+1$ gồm $a=-3($f(x)$ cùng dấu với thông số $a$).Suy ra $-3x^2+2x+11.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-infty ;-frac13)cup (1;+infty ).$b) Tam thức $fleft( x ight)=x^2+x-12$ có $a=1>0$ và gồm hai nghiệm $x_1=-4$, $x_2=3.$($f(x)$ trái dấu với hệ số $a$).Suy ra $x^2+x-12Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=left( -4;3 ight).$c) Tam thức $fleft( x ight)=5x^2-6sqrt5x+9$ tất cả $a=5>0$ và $Delta =0.$($f(x)$ cùng dấu với thông số $a$).Suy ra $5x^2-6sqrt5x+9>0$ $Leftrightarrow x e frac3sqrt55.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=mathbbRackslash left frac3sqrt55 ight.$d) Tam thức $fleft( x ight)=-36x^2+12x-1$ bao gồm $a=-36$fleft( x ight)$ âm với $forall x e frac16$ và $fleft( frac16 ight)=0.$Suy ra $-36x^2+12x-1ge 0$ $Leftrightarrow x=frac16.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=left frac16 ight.$

Ví dụ 2. Tìm kiếm $m$ để phương trình sau bao gồm nghiệm:a) $x^2-mx+m+3=0.$b) $(1+m)x^2-2mx+2m=0.$

a) Phương trình bao gồm nghiệm khi còn chỉ khi $Delta ge 0$ $Leftrightarrow m^2-4left( m+3 ight)ge 0$ $Leftrightarrow m^2-4m-12ge 0$ $Leftrightarrow left< eginmatrixmge 6 \mle -2 \endmatrix ight.$Vậy với $min (-infty ;-2>cup <6;+infty )$ thì phương trình gồm nghiệm.b)+ với $m=-1$ phương trình biến chuyển $2x-2=0$ $Leftrightarrow x=1$ suy ra $m=-1$ thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài bác toán.+ với $m e -1$ phương trình gồm nghiệm khi còn chỉ khi $Delta’ ge 0$ $Leftrightarrow m^2-2mleft( 1+m ight)ge 0$ $Leftrightarrow m^2+2mle 0$ $Leftrightarrow -2le mle 0.$Vậy cùng với $-2le mle 0$ thì phương trình gồm nghiệm.

Xem thêm: Cách Chữa Ong Đốt Hết Sưng Tại Nhà Hiệu Quả, Bị Ong Đốt Bôi Gì

Ví dụ 3. Kiếm tìm $m$ để các $xin left< -1;1 ight>$ đông đảo là nghiệm của bất phương trình $3x^2-2left( m+5 ight)x-m^2+2m+8le 0.$

Ta tất cả $3x^2-2left( m+5 ight)x-m^2+2m+8=0$ $Leftrightarrow x=m+2$ hoặc $x=frac4-m3.$+ với $m+2>frac4-m3$ $Leftrightarrow 3m+6>4-m$ $Leftrightarrow m>-frac12$, ta có:Bất phương trình $Leftrightarrow frac4-m3le xle m+2.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $left< frac4-m3;m+2 ight>.$Suy ra phần đa $xin left< -1;1 ight>$ hồ hết là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $left< -1;1 ight>subset left< frac4-m3;m+2 ight>$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix-1ge frac4-m3 \1le m+2 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixmge 7 \mge -1 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow mge 7.$Kết phù hợp với điều khiếu nại $m>-frac12$ ta gồm $mge 7$ thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.+ với $m+2Bất phương trình $Leftrightarrow m+2le xle frac4-m3.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $left< m+2;frac4-m3 ight>.$Suy ra gần như $xin left< -1;1 ight>$ gần như là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $left< -1;1 ight>subset left< m+2;frac4-m3 ight>$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix-1ge m+2 \1le frac4-m3 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixmle -3 \mle 1 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow mle -3.$Kết hợp với điều kiện $m+ cùng với $m=-frac12$ ta tất cả bất phương trình $Leftrightarrow x=frac32$ nên $m=-frac12$ không vừa lòng yêu cầu bài xích toán.Vậy $min (-infty ;-3>cup <7;+infty )$ là giá trị buộc phải tìm.

Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình $(m+1)x^2-2(2m-1)x-4m+2Với $m e -1$ ta gồm $g(x)=(m+1)x^2-2(2m-1)x-4m+2$ là tam thức bậc nhị có: $a=m+1$ $Delta’=8m^2-2m-1.$Bảng xét dấu:

*

+ Xét $-frac14le mle frac12$ $Rightarrow left{ eginalign& a>0 \& Delta’le 0 \endalign ight.$ $Rightarrow g(x)ge 0$, $forall xin R$ $Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.+ Xét $left< eginalign& m>frac12 \& -1endalign ight.$ $Rightarrow left{ eginalign& a>0 \& Delta’>0 \endalign ight.$ $Rightarrow $ $S=(x_1;x_2)$, với: $x_1=frac2m-1-sqrt(2m-1)(m+1)m+1$, $x_2=frac2m-1+sqrt(2m-1)(m+1)m+1.$+ Xét $m& a& Delta’>0 \endalign ight.$ $Rightarrow $ $S=(-infty ;x_1)cup (x_2;+infty ).$Kết luận:$m=-1$ bất phương trình gồm tập nghiệm là $ extS=left( -infty ;-1 ight).$$-frac14le mle frac12$ bất phương trình bao gồm tập nghiệm là $ extS=varnothing .$$left< eginalign& m>frac12 \& -1endalign ight.$ bất phương trình bao gồm tập nghiệm là $S=(x_1;x_2).$$mDạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc nhị một ẩn.Ví dụ 5. Giải những hệ bất phương trình sau:a) $left{ eginalign& 2x^2+9x+7>0 \& x^2+x-6endalign ight.$b) $left{ eginalign& 2x^2+x-6>0 \& 3x^2-10x+3ge 0 \endalign ight.$c) $left{ eginmatrix-x^2+5x-4ge 0 \x^2+x-13le 0 \endmatrix ight.$d) $left{ eginalign& x^2+4x+3ge 0 \& 2x^2-x-10le 0 \& 2x^2-5x+3>0 \endalign ight.$

a) Ta có $left{ eginalign& 2x^2+9x+7>0 \& x^2+x-6endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixleft< eginmatrixxge -1 \xle -frac72 \endmatrix ight. \-3endmatrix ight.$ $Leftrightarrow -1Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left( -1;2 ight).$b) Ta tất cả $left{ eginalign& 2x^2+x-6ge 0 \& 3x^2-10x+3>0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixleft< eginmatrixxge frac32 \xle -2 \endmatrix ight. \left< eginmatrixx>3 \xendmatrix ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left< eginmatrixx>3 \xle -2 \endmatrix ight.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=(-infty ;-2>cup (3;+infty ).$c) Ta gồm $left{ eginmatrix-x^2+5x-4ge 0 \x^2+x-13le 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix1le xle 4 \frac-1-sqrt532le xle frac-1+sqrt532 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow 1le xle frac-1+sqrt532.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< 1;frac-1+sqrt532 ight>.$d) Ta bao gồm $left{ eginalign& x^2+4x+3ge 0 \& 2x^2-x-10le 0 \& 2x^2-5x+3le 0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& left< eginmatrixxge -1 \xle -3 \endmatrix ight. \& -2le xle frac52 \& 1le xle frac32 \endalign ight.$ $Leftrightarrow 1le xle frac32.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< 1;frac32 ight>.$

Ví dụ 6. Cho hệ bất phương trình $left{ eginmatrixmx^2-x-5le 0 \left( 1-m ight)x^2+2mx+m+2ge 0 \endmatrix ight.$a) Giải hệ bất phương trình khi $m=1.$b) tra cứu $m$ nhằm hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

a) lúc $m=1$ hệ bất phương trình trở thành:$left{ eginmatrixx^2-x-5le 0 \2x+3ge 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixfrac1-sqrt212le xle frac1+sqrt212 \xge -frac32 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow frac1-sqrt212le xle frac1+sqrt212.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< frac1-sqrt212;frac1+sqrt212 ight>.$b)+ khi $m=0$ hệ bất phương trình biến hóa $left{ eginmatrix-x-5le 0 \x^2+2ge 0 \endmatrix ight.$ cho nên vì thế $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài bác toán.+ lúc $m=1$ theo câu a ta thấy cũng không vừa lòng yêu cầu bài toán.+ lúc $left{ eginmatrixm e 0 \m e 1 \endmatrix ight.$ ta bao gồm hệ bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình trong hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$$Leftrightarrow left{ eginmatrixleft{ eginmatrixmDelta _1=1+20mle 0 \endmatrix ight. \left{ eginmatrix1-m>0 \Delta ‘_2=m^2-left( 1-m ight)left( m+2 ight)le 0 \endmatrix ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& m& mle -frac120 \& m& 2m^2+m-2le 0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& m& mle -frac120 \& m& frac-1-sqrt174le mle frac-1+sqrt174 \endalign ight.$ $Leftrightarrow frac-1-sqrt174le mle -frac120.$Vậy $frac-1-sqrt174le mle -frac120$ là giá chỉ trị đề xuất tìm.

Xem thêm: Bài Tập Ngữ Pháp Tiếng Trung Sơ Cấp Trung Cấp Và Cao Cấp, Tổng Hợp Ngữ Pháp Tiếng Trung Cơ Bản

Dạng toán 3. Giải bất phương trình tích và bất phương trình đựng ẩn ngơi nghỉ mấu thức.Ví dụ 7. Giải những bất phương trình:a) $left( 1-2x ight)left( x^2-x-1 ight)>0.$b) $x^4-5x^2+2x+3le 0.$

a) Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta tất cả tập nghiệm của bất phương trình đã đến là: $ mS = left( – infty ;frac1 – sqrt 5 2 ight) cup left( frac12;frac1 + sqrt 5 2 ight).$b) Bất phương trình tương đương $(x^4-4x^2+4)-(x^2-2x+1)le 0$ $Leftrightarrow (x^2-2)^2-(x-1)^2le 0$ $Leftrightarrow (x^2+x-3)(x^2-x-1)le 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta gồm tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=left< frac-1-sqrt132;frac1-sqrt52 ight>cup left< frac-1+sqrt132;frac1+sqrt52 ight>.$

Ví dụ 8. Giải các bất phương trình:a) $fracx^2-1left( x^2-3 ight)left( -3x^2+2x+8 ight)>0.$b) $x^2+10le frac2x^2+1x^2-8.$

a) Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta gồm tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=left( -sqrt3;-frac43 ight)cup left( -1;1 ight)cup left( sqrt3;2 ight).$b) Ta có: $x^2 + 10 le frac2x^2 + 1x^2 – 8$ $ Leftrightarrow frac2x^2 + 1x^2 – 8 – left( x^2 + 10 ight) ge 0$ $ Leftrightarrow frac2x^2 + 1 – left( x^2 – 8 ight)left( x^2 + 10 ight)x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow frac81 – x^4x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow fracleft( 9 – x^2 ight)left( 9 + x^2 ight)x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow frac9 – x^2x^2 – 8 ge 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=<-3;-2sqrt2)cup (2sqrt2;3>.$

Ví dụ 9. Giải bất phương trình sau:a) $fracleftx^2-x-1ge 0.$b) $fracsqrtx^2+1-sqrtx+1x^2+sqrt3x-6le 0.$

a) vì $left| x^2-x ight|+2>0$ đề nghị $frac x^2-x ightx^2-x-1ge 0$ $Leftrightarrow frac x^2-x ightx^2-x-1ge 0$ $Leftrightarrow fracleft( x^2-x-2 ight)left( x^2-x+2 ight)x^2-x-1ge 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình đã đến là: $S=(-infty ;-1>cup left( frac1-sqrt52;frac1+sqrt52 ight)cup <2;+infty ).$b) Điều kiện xác định: $left{ eginmatrixx+1ge 0 \x^2+sqrt3x-6 e 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxge -1 \eginalign& x e sqrt3 \& x e -2sqrt3 \endalign \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxge -1 \x e sqrt3 \endmatrix ight.$Vì $sqrt x^2 + 1 + sqrt x + 1 > 0$ nên $fracsqrt x^2 + 1 – sqrt x + 1 x^2 + sqrt 3 x – 6 le 0$ $ Leftrightarrow fracleft( sqrt x^2 + 1 – sqrt x + 1 ight)left( sqrt x^2 + 1 + sqrt x + 1 ight)x^2 + sqrt 3 x – 6 le 0$ $ Leftrightarrow fracx^2 – xx^2 + sqrt 3 x – 6 le 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét lốt và so sánh điều kiện, ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=left< -1;0 ight>cup <1;sqrt3).$

Ví dụ 10. Tìm kiếm $m$ nhằm bất phương trình $sqrtx-m^2-mleft( 3-fracx+1x^3-x^2-3x+3 ight)3-fracx+1x^3-x^2-3x+3x>m^2+m \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixfracleft( x-2 ight)left( 3x^2+3x-4 ight)left( x-1 ight)left( x^2-3 ight)x>m^2+m \endmatrix ight.$Bảng xét dấu:

*

Tập nghiệm của bất phương trình $fracleft( x-2 ight)left( 3x^2+3x-4 ight)left( x-1 ight)left( x^2-3 ight)Do đó bất phương trình vẫn cho có nghiệm khi và chỉ khi: $Leftrightarrow m^2+mVậy $-2Dạng toán 4. Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc nhị trong chứng minh bất đẳng thức với tìm giá bán trị lớn nhất, nhỏ dại nhất.Ví dụ 11. Mang đến hai số thực $x$, $y$. Chứng tỏ rằng $3x^2+5y^2-2x-2xy+1>0.$

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng $3x^2-2(y+1)x+5y^2+1>0.$Đặt $f(x)=3x^2-2(y+1)x+5y^2+1$ cùng xem $y$ là tham số lúc ấy $fleft( x ight)$ là tam thức bậc nhì ẩn $x$ có thông số $a_x=3>0$ và $Delta _x’=(y+1)^2-3(5y^2+1)$ $=-14y^2+2y-2.$Xét tam thức $gleft( y ight)=-14y^2+2y-2$ có thông số $a_y=-14Suy ra $Delta ‘_xDo kia $fleft( x ight)Ví dụ 12. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài tía cạnh của một tam giác và $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $a^2x+b^2y+c^2z=0$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zxle 0.$

+ nếu trong ba số $x$, $y$, $z$ có một vài bằng $0$, ví dụ điển hình $x=0$ $Rightarrow b^2y=-c^2z.$Suy ra $xy+yz+zx=yz=-fracc^2b^2z^2le 0.$+ ví như $x,y,z e 0$. Do $a^2x+b^2y+c^2z=0$ $Rightarrow x=-fracb^2y+c^2za^2.$Suy ra $ xy+yz+zxle 0$ $Leftrightarrow -(y+z)fracb^2y+c^2za^2+yzle 0$ $Leftrightarrow f(y)=b^2y^2+(b^2+c^2-a^2)yz+c^2z^2ge 0$.Tam thức $f(y)$ có $Delta _y=left< (b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2 ight>z^2.$Vì $left{ eginalign& |b-c|& b+c>a \endalign ight.$ $Rightarrow -2bc